Schaltungen mit Ohmschen Widerständen

Reihenschaltung von Widerständen

Im vorherigen Kapitel haben wir den elektrischen Widerstand als unvermeidliche Nebenwirkung beim Transport von elektrischen Ladungen durch einen Metalldraht kennen gelernt. Ein Stück Draht der Länge l hat einen Widerstand der Größe x. Wenn wir die Länge des Drahtes verdoppeln, verdoppelt sich auch der Widerstand - der doppelt so lange Draht besteht prinzipiell aus zwei hintereinander geschalteten Hälften mit jeweils der Länge (und dem Widerstand) des ursprünglichen Drahtes. Mit der Verdopplung der Drahtlänge haben wir prinzipiell unsere erste Schaltung verwirklicht: die Reihenschaltung. Für hintereinander geschaltete ohmsche Widerstände gilt beim Anlegen einer gleichbleibenden Spannung:

[3.9]

Sind Widerstände in Reihe geschaltet, so fließt durch jeden Widerstand die gleiche Stromstärke I_G. Dadurch verteilt sich die Gesamtspannung auf die einzelnen Widerstände wie folgt:

[3.10]

Entsprechend verteilt sich die Gesamtleistung auf die einzelnen Widerstände wie folgt:

[3.11]

Dabei bedeutet:
P_G - Gesamtleistung, U_G - Gesamtspannung, I_G - Stromstärke, R₁, R₂, R₃, R_n - Einzelwiderstände

Somit ist die an einem Widerstand in Reihenschaltung abfallende Spannung beziehungsweise Leistung proportional zum Wert des Widerstands. Am größten Widerstand findet der größte Spannungsabfall statt und hier wird auch die größte Leistung in Wärmeenergie verwandelt.

Parallelschaltung von Widerständen

Legen wir nun die beiden Drahtstücke nicht hintereinander, sondern nebeneinander, so fließt durch beide Drähte bei gleicher Spannung auch die gleiche Stromstärke. Insgesamt fließt also ein doppelt so hoher Strom durch die gesamte Anordnung der beiden Drähte. Nach der Definition R = U / I ergibt sich jetzt R = U / (2 * I). Der Gesamtwiderstand der beiden parallelen Drähte ist nur noch halb so groß wie bei einem einzelnen Draht. Für parallel geschaltete ohmsche Widerstände gilt beim Anlegen einer gleichbleibenden Spannung:

[3.12]

Gleiche Spannung an den parallel geschalteten Widerständen bedeutet für den Stromfluss durch die Einzelwiderstände:

[3.13]

Die umgesetzte elektrische Leistung ist somit:

[3.14]

Dabei bedeutet:
P_G - Gesamtleistung, U_G - Gesamtspannung, I_G - Stromstärke, R₁, R₂, R₃, R_n - Einzelwiderstände

Damit ergibt sich für einen Widerstand in Parallelschaltung, das der durch ihn fließende Strom beziehungsweise die abfallende elektrische Leistung antiproportional zu seinem Widerstandswert ist. Durch den kleinsten Widerstand fließt der höchste Strom und es wird die größte Leistung "verheizt".

Schaltpläne

Um elektrische Schaltungen graphisch darstellen zu können, verwendet man für die einzelnen Bauteile und deren Verdrahtung bestimmte Symbole. Eine Auflistung der verwendeten Symbole findet ihr im Anhang Schaltzeichen.

Abbildung 1:
Links sind zwei in Reihe und rechts zwei parallel geschaltete Widerstände, angeschlossen an eine Spannungsquelle zu sehen.

Spannungsteiler

Abbildung 2:
Im Bild links sind zwei in Reihe geschaltete Widerstände an einer Spannung U₀ zu sehen. Für den Spannungsabfall an den beiden Widerständen gilt:
U₁ + U₂ = U₀ und U₁ : U₂ = R₁ : R₂
Die Summe der an den beiden Widerständen abfallenden Spannungen ist gleich der anliegenden Eingangsspannung und das Verhältnis der an den Widerständen abfallenden Einzelspannungen ist gleich dem Verhältnis der Werte der Widerstände. Die Eingangsspannung wird also dem Verhältnis der beiden Widerstände entsprechend aufgeteilt. Daher nennt man eine derartige Anordnung auch einen Spannungsteiler.
Steht uns eine Spannungsquelle von 12V zur Verfügung und wir benötigen eine Spannung von 5V an dem Widerstand R2, so muss für das Verhältnis der Widerstände gelten:
R1 : R2 = 7 : 5
Nehmen wir für Widerstand R2 einen Wert von 1000Ω (=1kΩ, kurz 1k) so ergibt sich für R1 ein Wert von R1 = R2 * 7/5 = 1400Ω = 1,4kΩ. Somit erhält man 5V Spannung aus einer Eingangsspannung von 12V.

Abbildung 3:
Schließen wir nun einen Verbraucher an den "Ausgang" des Spannungsteilers an. Prinzipiell schließen wir damit einen weiteren Widerstand parallel zu dem bereits vorhandenen Widerstand R2 an. Die Schaltung besteht nun aus einer Reihenschaltung der Widerstände R1 und der Kombination des Widerstandes von R2 und R3. Der Widerstand von R2,3 berechnet sich zu:

Der kombinierte Widerstand von R2,3 ist also immer etwas kleiner als der Widerstand von R2, womit sich das Spannungsverhältnis dahingehend verschiebt, dass an R2 (und somit auch an R3) immer eine kleinere Spannung anliegt als ohne einen Verbraucher (=R3). Diese Verschiebung fällt um so gravierender aus, je kleiner R3 im Verhältnis zu R2 ist. Nehmen wir für R3 einen Widerstand von 10000Ω = 10kΩ, ergibt sich für den Widerstand von R2,3 ein Wert von R2,3 ≈ 909Ω. Damit ergibt sich wiederum als Ausgangsspannung:
U2,3 = U₀ * R2,3/(R1 + R2,3) und mit den Werten R1=1,4kΩ, R2,3=909Ω ergibt sich bei U₀=12V eine Ausgangsspannung von nur noch 4,72V. Deutlicher wird die Situation bei einem Wert von nur 1kΩ für R3. Hiermit erhalten wir für U₂ nur noch 3,16V. Bei Anschluss eines Verbrauchers an einen Spannungsteiler ist somit darauf zu achten, dass der Widerstand dieses Verbrauchers deutlich höher ist als der Gesamtwiderstand des Spannungsteilers oder Umgekehrt - der Gesamtwiderstand des Spannungsteilers sollte deutlich unter dem des Verbrauchers liegen. Den Gesamtwiderstand des Spannungsteilers zu erniedrigen ist aber mit einem weiteren Fallstrick verbunden: In den Widerständen des Spannungsteilers wird elektrische Leistung verbraucht. Diese ungenutzte Leistung ist um so höher, je kleiner der Gesamtwiderstand des Spannungsteilers ist. Bei R1=1,4kΩ und R2=1kΩ ist die ungenutzte Leistung P = U₀² / (R1 + R2) = 0,06W. Setzt man R1=140Ω und R2=100Ω, um auch mit einem Verbraucher von 1kΩ noch 4,71V am Verbraucher anliegen zu haben, so steigt die Verlustleistung auf 0,6W ohne angeschlossenen Verbraucher. Ist ein Verbraucher von 1kΩ angeschlossen, setzt dieser allerdings nur 0,022W elektrische Leistung um. Sonderlich ökonomisch ist dieses Verhältnis also nicht gerade.

Verschachtelte Netzwerke

Verschachtelte Netzwerke aus vielen Widerständen lassen sich oft schrittweise wie folgt vereinfachen:

Abbildung 4:

In einem ersten Schritt werden die Widerstände R1 + R2 (rotes Rechteck), R8 + R9 + R10 (grünes Rechteck), R11 + R12 (gelbes Rechteck) durch simple Addition zusammengefasst. Ferner wird der Widerstand von R7 und R6 zu R6,7 = (R6 * R7)/(R6 + R7) berechnet. Damit ergibt sich die vereinfachte Schaltung:

Abbildung 5:

Wiederum werden R1 und R2,3 mit R1,2,3 = (R1 * R2,3)/(R1 + R2,3) sowie R5 und R6,7 mit R5,6,7 = R5 + R6,7 zusammengefasst, womit wir die nächste Schaltung erhalten:

Abbildung 6:

Die drei parallelen Widerstände R4 und R5,6,7 und R8,9,10 (blaues Rechteck) werden zusammengefasst und es ergibt sich die übersichtliche Konstellation:

Abbildung 7:

Die verbliebene Schaltung besteht aus 3 Widerständen in Reihenschaltung, womit ihr durch simple Addition den Gesamtwiderstand erhaltet.

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